Максим Сергеевич Храмцов родился 12 января 1998 года в селе Советском Советского сельсовета Куртамышского района Курганской области, ныне село входит в Куртамышский муниципальный округ той же области.

Когда Максиму было 2 или 3 года, семья Храмцовых переехала в город Нижневартовск Ханты-Мансийского автономного округа.

Спортивную карьеру начал с 2005 года в секции каратэ, с 2010 года занятия спортом продолжил в секции тхэквондо. Личный тренер — Александр Вениаминович Лашапанов.

В 2014 году трудоустроен на должность спортсмена-инструктора в МАУ г. Нижневартовска «Спортивная школа олимпийского резерва»,

В октябре 2015 года стал победителем Первенства Европы среди юниоров, проходившем в Даугавпилсе (Латвия), в весовой категории до 68 кг.

В ноябре 2015 года завоевал золото и титул победителя Первенства Европы среди молодёжи (до 21 года), проходившем в Бухаресте.

В декабре 2015 года в составе мужской команды становится обладателем бронзовой медали командного Кубка Мира.

В 2016 году снова стал победителем чемпионата Европы среди молодёжи (до 21 года) в весовой категории до 74 кг.

В 2017 году стал серебряным призёром Гран-При. На чемпионате мира 2017 года победил в категории до 74 кг, став первым российским чемпионом мира по тхэквондо ВТФ в мужском дивизионе. В финале Максим победил спортсмена из Узбекистана Никиту Рафаловича

В 2018 году стал победителем международного турнира «Большой Шлем» в китайском городе Уси. Со счетом 3:1 по раундам одержал победу над корейцем Хван Намгоном в весовой категории до 80 кг.

В 2019 году окончил факультет «Физическая культура» в Нижневартовском социально-гуманитарном колледже по специальности «педагог по физической культуре и спорту». Продолжил обучение на факультете физической культуры и спорта» в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования «Нижневартовский государственный университет».

В 2021 году, на Олимпийских играх в Токио завоевал первую в истории России золотую олимпийскую медаль в дисциплине тхэквондо.